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学习笔记
📚奇异值分解
发布于: 2024-12-8
最后更新: 2024-12-17
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数学
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定义:将线性变换分解为单纯的伸缩和旋转

  1. 伸缩对应的对角矩阵
  1. 旋转对应正交矩阵
  1. 因此 S 的主对角元素被称为奇异值,奇异值必须为非负数切从大到小排列

    对称矩阵的奇异值分解

    1. A 是实对称矩阵,则 S 是对角矩阵且特征值等于 , 是由 的 个线性无关的特征向量组成的,且这 n 个向量彼此正交。
    1. 计算步骤
      1. 计算 A 的特征值 ,特征向量即分别把 带入 回去得到不同的x.
      2. 得到的 做单位化并按列合并起来则得到 ; 从大到小按对角线组合则为 S
    1. 例题
    notion image
    注意:由于有些方阵的特征值存在负数,但奇异值必须是非负数,需要进行普通方阵的奇异值分解的步骤。
    比如

    普通方阵的奇异值分解

    其中,
    利用 是对称矩阵的性质,带入公式可以得到。
    这样的形式就和实对称矩阵的奇异值分解是一样的。
    但是注意的是,求出正交矩阵 P 和 Q 之后需要进行矫正,这有点类似于开平方后的多个根的感觉。
    矫正方法:
    ,保持 q 不变,对 p 的符号进行矫正。
    注意
    1. 最后的A答案是乘以的 Q 的转置,拼起来的时候注意别写错了。
    1. 还有需要注意的是,如果在求特征向量的时候发现有个 会使得 是未满秩的结果,需要先算一下其他的特征向量,最后要保持该向量与其他的向量正交。
    1. 最后的 P 和 Q需要做单位一化。

    非方阵的奇异值分解

    只需对 和 的公共特征值取算术平方根即可获得对角矩阵 ,进一步补充0元素将其扩展为和A同尺寸的矩阵S。
    同样需要矫正。
     
    约化 SVD 的话需要将 J 的 O 去除,并且把 P 中的最后几列删除(删除后P和 A 形状一样了) (m>n)
     

    奇异值分解在图像处理中的应用

    图像可以分解为一系列秩1矩阵之和,靠前的项所占图像的“份额”更大.因为奇异值的大小关系。因此可以用奇异值分解用来做图像压缩。
     

    python 代码实现

    notion image
     
    参考链接:https://www.bilibili.com/video/BV1ExWxesEVf/?spm_id_from=333.337.search-card.all.click&vd_source=aab193b0b5d1859d9dad1fc19304103e
     
    • 作者:Lishen Qu
    • 链接:https://qulishen.top/article/%E5%A5%87%E5%BC%82%E5%80%BC%E5%88%86%E8%A7%A3
    • 声明:本文采用 CC BY-NC-SA 4.0 许可协议,转载请注明出处。
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